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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 BgoF" 5|  
b& cu/@6  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. |]/JA 5hi  
:Q/a] )-qo  
　　1、三角函数本质： ~9!YFK6_  
Slbxo@x  
　　三角函数的本质来源于定义 IX c.=  
|i-?u#  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 p %~2LFu*{  
7ug}ZDy@  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 '$ ^Cz1E  
0[5+V+/r  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： f<c?j KL  
aJ|Q>h,O  
　　推导： .C*jVV  
C ZW^"`  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 xC3YHqR^&  
#)4R0t  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) +7\Q?l^^  
cN:,`oKe r  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) JLHRnF$h  
,pre>TMs  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 >Q% der]  
" F1p|H  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 7mG h1GA  
(=(2%]s/z|  
　　[1] NSN'r-nG  
>=9&TYZ}  
　　两角和公式 K]^Cv\(   
L FJM 0  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB qln0,]  
RivBrm<*  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  `@U {a   
So^azu[L  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ZGks)y[Xg  
 ?x*  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB dhEv#;@  
! tw| 2_  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) i}-T#57y  
r.FM=c;1  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) TqcGCTeL  
R=`;<V03  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  28e gQ*V  
_NcZK{<  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) JG.MB  
$:gYgc  
倍角公式 <~lkY}&D  
= 7%L`^  
　　Sin2A=2SinA•CosA F@`isrV|sz  
5<:]]Qc  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 81'f |  
V Fc#$\V  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） <Y# S!5g  
;jRtGq@  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） oaKo[d[  
*bB eo o  
三倍角公式 mg}]T{  
n!M8tU3]  
　　 l6& #P  
x_2tRZ^w  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) iM\Elp<  
x{$sx>{  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) w<h?"q1@|  
5{;k:RH*A  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ^@OMIPhOf.  
HTjG-CHz  
三倍角公式推导 DzSk0n>C  
2'rB5l< E  
　　sin3a REBT,y>P/j  
vpBVaZE0F  
　　=sin(2a+a) qXES1~9G$  
{ *`8&  
　　=sin2acosa+cos2asina #SkF6  
&4 gD  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina KuQSi0[  
Xb)2&mL"R  
　　=3sina-4sin³a ^dt4qi  
P-Wz"v.Ps  
　　cos3a -d>CLQOG  
z{|9sgwK%  
　　=cos(2a+a) FL@dLl!\o  
NI77c (T,\  
　　=cos2acosa-sin2asina mk4+1a7  
q;1]^lK +  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  mq>W   
YgrFw.s  
　　=4cos³a-3cosa =r+Z-i|  
":9S^NoB  
　　sin3a=3sina-4sin³a g $Dzqf  
v""emYW  
　　=4sina(3/4-sin²a) -z<b_<  
=B $e$7z~  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] LWry.3K  
L<ts'<1p  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) =PM)57@:  
FQp)B  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) L >:d  
HaaH(BL)  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] AWuZMBL  
1}.RGs4:  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) /]K?5KdI  
R_;ac  
　　cos3a=4cos³a-3cosa -<].6'{  
QX[F.}z's  
　　=4cosa(cos²a-3/4) y {O DG[  
'+(~- ]  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] K 7OM#~/  
vcm)Y[=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) {W I$]|>  
:1b8A"y wA  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) E((o@~t'F;  
} H~5=:t  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 4E3_ |J%a  
rTqS6$<Ia  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ;.H<F8!,  
F\8T.  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 4n#e6fQ  
Ljm9wSQ  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =Pqp5X^j  
jZ#)BH!C  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) {Cc+BF3h  
5bksI0  
　　上述两式相比可得 ?n*uc  
R|!$"  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 6b c{v{  
d1 *fbR6x  
半角公式 e*&`g9 'h  
m0_+@zVt:j  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); r#p,d y^Ne  
TU3*%3  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. =#Xt Ij  
[*RjvjkI1  
和差化积 En95U`  
G.Qb3 _  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] K {f[\k  
l /T`^V  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] e['!:<)  
br]&dH_  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] G;dHu{ WC  
Nd_~O (  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _\d^S~  
 RSs.E1em  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) O oSy>O  
_&W liq  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) />%U]9wH{  
_Rs<1do1EG  
积化和差 9D -0X  
*0IYz]:^  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 7mA n\"  
Qahf2qsBC  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ^4GRK\mOm  
\}ft(d  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -=hGS D0  
&o~7<?|w  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] <mORTNHA  
 0X2-TA  
诱导公式 u2Ng11KbX  
6<1..@q$  
　　sin(-α) = -sinα ROUwYR DI  
l/<'=SQ+  
　　cos(-α) = cosα +[vOiQ0E  
)%:f71stfc  
　　sin(π/2-α) = cosα (Ha#E:dWc  
NfdnGCV  
　　cos(π/2-α) = sinα 8*>^1k .  
}'<Ex#0H  
　　sin(π/2+α) = cosα eIa,*"^L  
Tp]~H{S  
　　cos(π/2+α) = -sinα y9c/4{O<_  
]cQ [bdi  
　　sin(π-α) = sinα [3zAnk  
eC7fb  
　　cos(π-α) = -cosα <4 oZ|$  
$UdE#  
　　sin(π+α) = -sinα ]L5jZOg  
^ u1*KRyh  
　　cos(π+α) = -cosα JNcch  
Bb5,m/  
　　tanA= sinA/cosA k\N5I9'  
)G\ZlrgA/  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα _fkn}q"T  
xw>Hv@{F^  
　　tan（π/2－α）＝cotα k6Eg%)p*2  
`eG%Yn)?  
　　tan（π－α）＝－tanα }H4/% 9  
c9i4n-KQQ  
　　tan（π＋α）＝tanα Gj`rzCB1  
Acz|JSsI\  
万能公式 #,VT;a{  
*CF9Z2Y`Y  
　　 9c^.`\A }  
UE!TN  
其它公式 GLGu ee5xx  
wcVIVo29  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 RSA]G.  
m|r]:7o  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 |@(?@1Q 5  
Po1Q5rgs  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 +L~tnI!Z  
U=~fj%3  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 _^J?Fp:n  
'Ug<B?v J  
　　对于任意非直角三角形,总有 N`Oxxbr  
( !mv"d  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :K['=(c:  
3cisqab  
　　证: S0k.G6  
?)fSjQ+kG  
　　A+B=π-C ]FCcD R>;  
+uy |CN^.  
　　tan(A+B)=tan(π-C) '| uwVBm  
6(}^ :H.  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 'V{3Yo  
PV#33fO(  
　　整理可得 i` AGLM'n  
Jhw|r[b.o  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC qTe}EqgGR  
<6dRC>- j  
　　得证 I@3'< w{A  
2NdO_2x<ki  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ZIpc:0  
zD u0=%5x  
其他非重点三角函数 MAg $~,8m!  
7|J1aj'7  
　　csc(a) = 1/sin(a) Jd5K4(h*i  
aM.#tNjw  
　　sec(a) = 1/cos(a) 0=8/J_%  
= ?_C |  
　　 }}l}$~eW`  
4u~ tzo  
双曲函数 \;w\dcb0}  
JF~ @(  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 fB/M'  
\9P2Uf]59  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 4Ld/g-jT]3  
K>`+O0@/  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) VAi-vaS  
<WRv=qdn#  
　　公式一： c3tWH{  
R-^$BX#fN2  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Hfk-9AgF}  
LAA9_8.lj  
　　sin（2kπ＋α）= sinα a<Vg @9P  
x5|o,d5L  
　　cos（2kπ＋α）= cosα S`Lc@@'  
e!Y9h@!  
　　tan（kπ＋α）= tanα z(E7It(8  
\EP0L =<S  
　　cot（kπ＋α）= cotα e1YfY0G  
QG;K?ts  
　　公式二： C![N ]P  
;0%a&3/_  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ,LzTjm  
g4#u#tj  
　　sin（π＋α）= -sinα 5;s5]k#  
Off\5g2  
　　cos（π＋α）= -cosα >_(R Xv  
(m{F v.Z  
　　tan（π＋α）= tanα FphdOOP  
-+zy7Zlqa  
　　cot（π＋α）= cotα h'g*/nHS=y  
=|qUL&2#  
　　公式三： >{vD$t  
gYa4g>`  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： xU@VI:  
8Uoy&c  
　　sin（-α）= -sinα <q+p ~w  
ZyN~KWNY  
　　cos（-α）= cosα D[;ho!a  
go:dNz  
　　tan（-α）= -tanα sZn'gr2]  
IJ@<w+V  
　　cot（-α）= -cotα `V#,k,XV5T  
qj%JBx(-^v  
　　公式四： 3FarXL/@  
D$I@^  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： F{:Zf)3  
zeia^W'Hv  
　　sin（π-α）= sinα 7V8 $Jtt#~  
xow3a  
　　cos（π-α）= -cosα TAQ1g>d  
-;P@;  
　　tan（π-α）= -tanα C/m|'Mga  
`(\)i9*jY;  
　　cot（π-α）= -cotα E[;!@:Ja  
AX-2.5z k  
　　公式五： rY3zP 3D  
;A*hJUH k  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： +;^:|z+T  
S#BiZO<  
　　sin（2π-α）= -sinα yvp@#bY_k  
Lz.q1#}.  
　　cos（2π-α）= cosα `6qh:27c  
NMn8a7wr  
　　tan（2π-α）= -tanα `'e gDC  
Zh38d3  
　　cot（2π-α）= -cotα tGqUN9/Gq^  
l8P#a;O  
　　公式六： ,rzZLO0x2  
aVyMC  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： t-_CVIw@~b  
c+I}3pS%  
　　sin（π/2+α）= cosα y|0KKd_  
$LUz `VA  
　　cos（π/2+α）= -sinα aAR gW1I  
i2AG5:(  
　　tan（π/2+α）= -cotα mxVm"@!:eA  
f=y=Ez  
　　cot（π/2+α）= -tanα tO fJ_W8z  
H{9r]c@  
　　sin（π/2-α）= cosα .17O$WdgH  
@/+ 9{|  
　　cos（π/2-α）= sinα QMxEh?d H  
s^57Eg}?  
　　tan（π/2-α）= cotα p^^`v  
vhFp"/  
　　cot（π/2-α）= tanα k59 x(-l  
wh'*| MZ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Sm;HG<0}U  
NSl8.'VSz  
　　cos（3π/2+α）= sinα zmr3 >o_Y  
^_/_#U-P  
　　tan（3π/2+α）= -cotα + "14N  
J~#m>)^  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 7w!\sv:$e  
7ko'!pQ=  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ,,L Yw*[~  
e_*ziOz  
　　cos（3π/2-α）= -sinα gi0+Z9lK9d  
OfqKI O  
　　tan（3π/2-α）= cotα G4m;P&+ J  
K+}_$7yy;  
　　cot（3π/2-α）= tanα 0FVc3?H*C  
 >)<{+  
　　(以上k∈Z) 9$<<UMc|  
:\p})\CV  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 c#|IJ0  
#8SG-,&  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = S^w-Oe  
[2[t1?r02  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } icg+Ir  
\v p60MW  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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