三角函数内容规律 6hKq!W!b
q/:v|@D!jy
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. SFgs2]D
8MPyl i<9
1、三角函数本质: zJP~~}d
+Px(Ph
三角函数的本质来源于定义 V[, M_',V
E(').ur,
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 :LZ_pJ0stn
h:>Cm2bcL3
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 [
!n>y:
R_=IE|
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: :hw,)_N
eU
5t]
OTTa
推导: :[VY}U
2@0`wwMFW
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 ia\'t}'H7
Bp
u]8-
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) #g7M
^ND
DW)tCbD
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) +glzu38Mh
9;DG7,PJ
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 f!xtmn-
Q~hY@Z,\
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 5DVU
K
7kpEGW4
[1] 6Iky0-N
c6lo[`']
两角和公式 uY3o"P=1
'wU_dhsx
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ==BCF5_OIv
JjN<X]zX/
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB jnU{{mQ
[e-E*nx
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB zrVu.8v<
[;;ouT"s
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Qw0G`brX
gF4
$njkN
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) @I=<ci
dLlTXR1F
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) jMXFO<!Vlw
&xh\E-"%
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) eR
R6
wg
:ucx1ix46c
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) *XoC(,M
q8J]4A:@5
倍角公式 #te;wq;
RVNj<7h{?#
Sin2A=2SinA•CosA <%v;PUjX
;+T:/Go s:
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 9{^&,$bD
~Umc U
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) 4EI{U5.G
xtai
:
:P
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) )|l{mn*
KmPd`*l
三倍角公式 R<{i~y
NS8SBl*@
J1S/mEC
ESgt\Z>}<
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) uj9M[HP
,vd.Gk
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jPq$
{OFuXA(6_
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
[x@"P
m)&er
三倍角公式推导 U]eKh<b
lML{
kbW
sin3a "$ XH
VgJb&FBFf
=sin(2a+a) r4_~b{3b
:5h3kl,^
=sin2acosa+cos2asina Vk4QN7]g,
@LpaFqr
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ?Y>3t
GD;f+ h
=3sina-4sin³a $p!9G vg
qliohg
cos3a `e\o6endQT
ZW#e^1=
=cos(2a+a) i2n`# p'b
-l|;;%m
=cos2acosa-sin2asina <,0u%sa
NC{qNAtN.6
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Iw>viquH-
'5
Y:9
=4cos³a-3cosa K
P]
!./.x3a
sin3a=3sina-4sin³a s+EZ[m4#t
BZ3S`NK
=4sina(3/4-sin²a) X]V..a|j
e4`#
WD
=4sina[(√3/2)²-sin²a] @[I
r:H*`
i;00X~!aa
=4sina(sin²60°-sin²a) O\$Q@T
G?2AN-fs@
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 43U+(A4=
,E~jxjp?
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Le|<ee
=-1[`TB^s
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,)xt|_dKw
DS#Fw4~&
cos3a=4cos³a-3cosa
bl>kkPsO
ZW*u"K}5
=4cosa(cos²a-3/4) -M'$k'Rx
g!?b
&>f
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Z@;ILA
i
[s'&>`z
=4cosa(cos²a-cos²30°) qL5&pNx
a
Kldz%p5]
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 'x)&/K_M]M
XVwC}b
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Zd2g
Tiaq
_N1(kmm
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) d4JB^O
gL
9-a{L
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] tH:
Eac;'l
R\[wKV
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] [
j> CCX
ko1]?(W@
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) WlV|6QZ
a bt[nX]
上述两式相比可得 mA06
%fN-oy
At%
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) bS>7z(mk
\c
]s
半角公式 Lu$#!OD+
@aKU}b
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); .kZ2vW6<
d)'
y
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. E[})"Y
db{u0?
和差化积 'cy@X~k(^
C5RBn,omQ
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] gXco9
,D(f3
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <?M[/ so
o>\ Ab#);
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @;q|m+
@
sP(V
XOK
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X7y7P61t
jwn3pi#
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) }b^l_+G
VkZ&%1r!
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) y&|LFmy
b
2Vb<u"
积化和差 AAqr 4x
Cz
, []1P\
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ,#]-@bJZ
z;Qz.QH=
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 4GwLhO"Mp
)7!S"jF|<
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] hGmf
n|h
#,wzMc
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4hT$dU,W#f
*e7~v I
诱导公式 |
;VGe
;
P[p
sin(-α) = -sinα ;7nIn;6C
6rw\l9\0
cos(-α) = cosα YR62m{`
CT@bn
sin(π/2-α) = cosα h1|:-Z
Ob
x1g<6Hb
cos(π/2-α) = sinα 0p5/Z^Q
pee]8 `b
sin(π/2+α) = cosα ,]w* 6
1.=;X8
cos(π/2+α) = -sinα E/S|4:
lS%FM+o
sin(π-α) = sinα 9v3q'XsHx
:YWxaFW
cos(π-α) = -cosα Vi}kboH
bl<8@qO
sin(π+α) = -sinα T%);z?Vp
eXwnlwpj!
cos(π+α) = -cosα $5DLo3ig T
+ F,RFy"}
tanA= sinA/cosA PpWTw v$
Mg]>CVt
tan(π/2+α)=-cotα
Bt
\a\]
$kI[K:*
tan(π/2-α)=cotα 7Tb$c>|
:, Rt7a y
tan(π-α)=-tanα :P4_!7_\f
GY|++.T*Pc
tan(π+α)=tanα B'?U]l13h
?.)E<|9
万能公式 *_5b(&%
S
7A<G~tym
g!O 0T#
nHJb^px
其它公式 X+OZD{\
f
|1}&~%]=
(sinα)^2+(cosα)^2=1 SWG4yu#
YC C
"N_
1+(tanα)^2=(secα)^2 nh~
#:
{ys,J2
1+(cotα)^2=(cscα)^2 f "j*IE
&Oc[w{u)
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 DAi#WH$c^
7~F:"C,[h
对于任意非直角三角形,总有 2tV 5
Om9<g;
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC RCW iJ|
c]!1,y+P
证: + QYM>k
ScyR>kMQ
A+B=π-C $ RzC(JC
,>a<m!L
tan(A+B)=tan(π-C) 1h{~Xp
3rz~&1NDe
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Hd)+~7W
[(2\1jy
整理可得 IQh=
O$
!/7Zr;|i2
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 98.12oa^
=Hdau'#u
得证 UQ^ J/
mev^t0c&
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 !:Vq
J2>
7jKx
其他非重点三角函数 Mp2Nh3N
nGd_FsW
csc(a) = 1/sin(a) Mdhb )0
Ot+$8wv
sec(a) = 1/cos(a) 11!R)aUGg
(\0 j$[KL
RF *.aEm"
v"Aoc<{y 8
双曲函数 KWC6+
(u
hDCO5^xI
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 `j+"id_<
=s>*J)V
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 UnUaJ3%
l7
w{,z1
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) oECwW\T
g </ Wv@
公式一: s1f~GKfj
\!dJBGR1
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: Hj`^px
P%\Sp.c7
sin(2kπ+α)= sinα 2U[H^O*o2a
lChggIe
cos(2kπ+α)= cosα plblfgup$
7Sh>1peE
tan(kπ+α)= tanα Ct1-\"$$j
)
L|_&j@<
cot(kπ+α)= cotα Vm.{l
MP0P;-H
公式二: x' &1c
[9Wdk#I,G+
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ^Dkts4)g
a/+q
CkRh
sin(π+α)= -sinα ET8d8
W;=#+;$L
cos(π+α)= -cosα b`sx_hp
Uvu4+J:
tan(π+α)= tanα ac
s<T@r
Q^Vu<OV
cot(π+α)= cotα "t4}t=,
gJ^U8_yH
公式三: aj_zxxKZOW
Q)DVJ5H
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: -B7fk:\
nIi4.l}ia
sin(-α)= -sinα u%3Ft{m
aB),Ww7
cos(-α)= cosα DE'6 @
j!-"h
[
tan(-α)= -tanα Q;_@8_ PhR
yQxCvC^c
cot(-α)= -cotα g\[ =&
DV]L79m
公式四: /)]6I7cf;
q[{jaSt/Ad
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: #w7h1.T91
]+#X )sI
sin(π-α)= sinα b8[M$S
kbu:~X/
cos(π-α)= -cosα *+_&l=;/{
zjGL82VUx
tan(π-α)= -tanα 0z3(IG;
kdJ*F#G
cot(π-α)= -cotα i`nUw2`$nY
GRV<5) @
公式五: <"tm
{0s+
cf
JqX
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: *kxcD"6
4:GtkB)T
sin(2π-α)= -sinα phlVX8dt
Q
&Sy+Lwc
cos(2π-α)= cosα R7E@f[~
l3|3{
tan(2π-α)= -tanα -ot- :y9
*_v:s|eE
cot(2π-α)= -cotα *c?toe,
_ALO6+;k
公式六: y4O0Hq\
ZsHf(=d
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: U'E%c69,
DhPf*"u>
sin(π/2+α)= cosα q'TAZ9H
9toL#@V==
cos(π/2+α)= -sinα R+6A,@v]
A)|PW)Z#
tan(π/2+α)= -cotα ODs"t
6|6" QZ,
cot(π/2+α)= -tanα fL'p{RY
K!pj'PGq
sin(π/2-α)= cosα gL>=qy$v,
p6RiQbf
cos(π/2-α)= sinα 8Iy^u1^
7l ?g
tan(π/2-α)= cotα f$`g>%
Ms(s?/
cot(π/2-α)= tanα X_*Pjub
*O><<#B
sin(3π/2+α)= -cosα </b,aQF_Y
np@^E
cos(3π/2+α)= sinα wU^~p{-
kvPpd.
tan(3π/2+α)= -cotα P f9tzX(
9t/H)r#5a
cot(3π/2+α)= -tanα 0pwGJDyrU
[-`lGbGy%
sin(3π/2-α)= -cosα (KkJ=!
7Pw=rGWv
cos(3π/2-α)= -sinα +lbYB
R7`IK@TT
tan(3π/2-α)= cotα (z4npTE
H]x
h!c
cot(3π/2-α)= tanα k#12kY}A_
i^{V!.N#
(以上k∈Z) Q
;ZF ek.
x?X=#1[
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 trKCI
+9,!.)XJ
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]^:A7e-
#qfW5HU$
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } d
yU&/{
W528 Nsn
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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