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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 6hKq!W!b  
q/:v|@D!jy  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. SFgs2]D  
8MPyl i<9  
  1、三角函数本质: zJP~~}d  
+Px(Ph  
  三角函数的本质来源于定义 V[, M_',V  
E(').ur,  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 :LZ_pJ0stn  
h:>Cm2bcL3  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 [ !n>y:  
R_=IE|  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: :hw,)_N eU  
5t] OTTa  
  推导: :[VY}U  
2@0`wwMFW  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 ia\'t}'H7  
Bp u]8-  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) #g7M ^ND  
DW)tCbD  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) +glzu38Mh  
9;DG7,PJ  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 f!xtmn-  
Q~ hY@Z,\  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 5DVU K  
7kpEGW4  
  [1] 6Iky0-N  
c6lo[`']  
  两角和公式 uY3o"P=1  
'wU_dhsx  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ==BCF5_OIv  
JjN<X]zX/  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  jnU{{mQ  
[e-E*nx  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB zrVu.8v<  
[;;ouT"s  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Qw0G`brX  
gF4 $njkN  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) @I=<ci  
dLlTXR1F  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) jMXFO<!Vlw  
&xh\E-"%  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  eR R6 wg  
:ucx1ix46c  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) *XoC(,M  
q8J]4A:@5  
倍角公式 #te;wq;  
RVNj<7h{?#  
  Sin2A=2SinA•CosA <%v;P UjX  
;+T:/Go s:  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 9{^&,$bD  
~UmcU  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) 4EI{U5.G  
xtai : :P  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) )| l{mn*  
KmPd` *l  
三倍角公式 R<{i~y  
NS8SBl*@  
   J1S/mEC  
ESgt\Z>}<  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) uj9 M[HP  
,vd.Gk  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jPq$  
{OFuXA(6_  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) [x@"P  
m)&er  
三倍角公式推导 U]eKh<b  
lML{ kbW  
  sin3a "$XH  
VgJb&FBFf  
  =sin(2a+a) r4_~b{3b  
:5h3kl,^  
  =sin2acosa+cos2asina Vk4QN7]g,  
@LpaFqr  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ?Y>3t  
GD;f+ h  
  =3sina-4sin³a $p!9G vg  
qliohg  
  cos3a `e\o6endQT  
ZW#e^1=  
  =cos(2a+a) i2n`# p'b  
-l|;;%m  
  =cos2acosa-sin2asina <,0u%sa  
NC{qNAtN.6  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Iw>viquH-  
'5 Y:9  
  =4cos³a-3cosa K P]   
!./.x3a  
  sin3a=3sina-4sin³a s+EZ[m4#t  
BZ3S`NK  
  =4sina(3/4-sin²a) X]V..a| j  
e4`# WD  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] @[I r:H*`  
i;00X~!aa  
  =4sina(sin²60°-sin²a) O\$Q@T  
G?2AN-fs@  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 43U+(A4=  
,E~jxjp?  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Le|<ee  
=-1[`TB^s  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,)xt|_dKw  
DS#Fw4~&  
  cos3a=4cos³a-3cosa bl>kkPsO  
ZW*u"K}5  
  =4cosa(cos²a-3/4) -M'$k'Rx  
g!?b &>f  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] Z@;ILA i  
[s'&>`z  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) qL5&pNx a  
Kldz%p5]  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 'x)&/K_M]M  
XVwC}b  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Zd2g Tiaq  
_N1(kmm  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) d4JB^O  
gL 9-a{L  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] tH: Eac;'l  
R\[ wKV  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] [ j>CCX  
ko1]?(W@  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) WlV|6QZ  
abt[nX]  
  上述两式相比可得 mA 06  
%fN-oy At%  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) bS>7z(mk  
\c ]s  
半角公式 Lu$#!OD+  
@aKU}b  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); .kZ2 vW6<  
d)' y  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. E[})"Y  
db{u0?  
和差化积 'cy@X~k(^  
C5RBn ,omQ  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]  gXco9  
 ,D(f3  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <?M[/ so  
o>\ Ab#);  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @;q|m+ @  
sP(V XOK  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X7y7P61t  
jwn3pi#  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) }b^l_+G  
VkZ&%1r!  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) y&|LFmy  
b 2Vb<u"  
积化和差 AAqr 4x  
Cz , []1P\  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ,#]-@bJZ  
z;Qz.QH=  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 4GwLhO"Mp  
)7!S"jF|<  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] hGmf n|h  
#,wzMc  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4hT$dU,W#f  
*e7~vI  
诱导公式 | ;VGe  
; P[p  
  sin(-α) = -sinα ;7nIn;6C  
6rw\l9\0  
  cos(-α) = cosα YR62m{`  
CT@bn  
  sin(π/2-α) = cosα h1|:-Z Ob  
x1g<6Hb  
  cos(π/2-α) = sinα 0p5/Z^Q  
pee]8 `b  
  sin(π/2+α) = cosα ,]w* 6  
1.=;X8  
  cos(π/2+α) = -sinα E/S|4:  
lS%FM+o  
  sin(π-α) = sinα 9v3q'XsHx  
:YWxaFW  
  cos(π-α) = -cosα Vi }kboH  
bl<8@qO  
  sin(π+α) = -sinα T%);z?Vp  
eXwnlwpj!  
  cos(π+α) = -cosα $5DLo3igT  
+F,RFy"}  
  tanA= sinA/cosA PpWTwv$  
Mg]>CVt  
  tan(π/2+α)=-cotα Bt \a\]  
$kI[K:*  
  tan(π/2-α)=cotα 7Tb$c>|  
: , Rt7a y  
  tan(π-α)=-tanα :P4_!7_\f  
GY|++.T*Pc  
  tan(π+α)=tanα B'?U]l13 h  
?.)E<|9  
万能公式 *_5b(&% S  
7A<G~tym  
   g!O0T#  
nHJb^px  
其它公式 X+OZD{\ f  
|1}&~%]=  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 SWG4yu#  
YC C "N_  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 nh~ #:  
{ys,J2  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 f "j*IE  
&Oc[w{u)  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 DAi#WH$c^  
7~F:"C,[h  
  对于任意非直角三角形,总有 2tV5  
Om9<g;  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC RCWiJ|  
c]!1,y+P  
  证: + QYM>k  
ScyR>kMQ  
  A+B=π-C $RzC(JC  
,>a<m!L  
  tan(A+B)=tan(π-C) 1h{~Xp  
3rz~&1NDe  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Hd )+~7W  
[(2\1jy  
  整理可得 IQh= O$  
!/7Zr;|i2  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 98.12oa^  
=Hdau'#u  
  得证 U Q^ J/  
mev^t0c&  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 !:Vq J2>  
7jKx  
其他非重点三角函数 M p2Nh3N  
nGd_FsW  
  csc(a) = 1/sin(a) Mdhb )0  
Ot+$8wv  
  sec(a) = 1/cos(a) 11!R)aUGg  
(\0 j$[KL  
   RF *.aEm"  
v"Aoc<{y 8  
双曲函数 KWC6+ (u  
hDCO5^xI  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 `j+"id_<  
= s>*J)V  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 UnUa J3%  
l7 w{,z1  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) oECwW\T  
g </Wv@  
  公式一: s1f~GKfj  
\!dJBGR1  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: Hj`^px  
P%\Sp.c7  
  sin(2kπ+α)= sinα 2U[H^O*o2a  
lChggIe  
  cos(2kπ+α)= cosα plblfgup$  
7Sh>1peE  
  tan(kπ+α)= tanα Ct1-\"$$j  
) L|_&j@<  
  cot(kπ+α)= cotα Vm.{l  
MP0P;-H  
  公式二: x ' &1c  
[9Wdk#I,G+  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ^Dkts4)g  
a/+q CkRh  
  sin(π+α)= -sinα ET8d8  
W;=#+;$L  
  cos(π+α)= -cosα b`sx_hp  
Uvu4+J:  
  tan(π+α)= tanα ac s<T@r  
Q^Vu<OV  
  cot(π+α)= cotα "t4}t=,  
gJ^U8_yH  
  公式三: aj_zxxKZOW  
Q)DVJ5H  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: -B7fk:\  
nIi4.l}ia  
  sin(-α)= -sinα u%3Ft{m  
aB),W w7  
  cos(-α)= cosα D E '6 @  
j!-"h [  
  tan(-α)= -tanα Q;_@8_PhR  
yQxCvC^c  
  cot(-α)= -cotα g\[=&  
DV]L79m  
  公式四: /)]6I7cf;  
q[{jaSt/Ad  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: #w7h1.T91  
]+#X )sI  
  sin(π-α)= sinα b8[M$S  
kbu:~X/  
  cos(π-α)= -cosα *+_&l=;/{  
zjGL82VUx  
  tan(π-α)= -tanα 0z3(IG;  
kdJ*F#G  
  cot(π-α)= -cotα i`nUw2`$nY  
GRV<5) @  
  公式五: <"tm {0s+  
cf JqX  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: *kxcD"6  
4:GtkB)T  
  sin(2π-α)= -sinα phlVX8dt  
Q &Sy+Lwc  
  cos(2π-α)= cosα R7E@f[~  
l 3|3{  
  tan(2π-α)= -tanα -ot- :y9  
*_v:s|eE  
  cot(2π-α)= -cotα *c?toe,  
_ALO6+;k  
  公式六: y4O0Hq\  
ZsHf(=d  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: U'E%c69,  
DhPf*"u>  
  sin(π/2+α)= cosα q'TAZ9H  
9toL#@V==  
  cos(π/2+α)= -sinα R+6A,@v]  
A)|PW) Z#  
  tan(π/2+α)= -cotα ODs"t  
6| 6"QZ,  
  cot(π/2+α)= -tanα fL'p{R Y  
K!pj' PGq  
  sin(π/2-α)= cosα gL>=qy$v,  
p6RiQbf  
  cos(π/2-α)= sinα 8Iy^u1^  
7l ?g  
  tan(π/2-α)= cotα  f$`g>%  
Ms(s?/  
  cot(π/2-α)= tanα X_*P jub  
*O><<#B  
  sin(3π/2+α)= -cosα </b,aQF_Y  
n p@^E  
  cos(3π/2+α)= sinα wU^~p{-  
kvPpd.  
  tan(3π/2+α)= -cotα Pf9tzX(  
9t/H)r#5a  
  cot(3π/2+α)= -tanα 0pwGJDyrU  
[-`lGbGy%  
  sin(3π/2-α)= -cosα (KkJ=!  
7Pw=rGWv  
  cos(3π/2-α)= -sinα +lbYB  
R7`IK@TT  
  tan(3π/2-α)= cotα (z4np TE  
H]x h!c  
  cot(3π/2-α)= tanα k#12kY}A_  
i^{V!.N#  
  (以上k∈Z) Q ;ZFek.  
x?X=#1[  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 trKCI  
+9,!.)XJ  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]^:A7e-  
#qfW5HU$  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } d yU&/{  
W528 Nsn  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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